假设我们想对函数$y=2\mathbf{x}^{\top}\mathbf{x}$关于列向量$\mathbf{x}$求导
import torch
x = torch.arange(4.0)
x
tensor([0., 1., 2., 3.])
在我们计算$y$关于$\mathbf{x}$的梯度之前,我们需要一个地方来存储梯度
x.requires_grad_(True)
x.grad
现在让我们计算$y$
y = 2 * torch.dot(x, x)
y
tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)
通过调用反向传播函数来自动计算y
关于x
每个分量的梯度
y.backward()
x.grad
tensor([ 0., 4., 8., 12.])
x.grad == 4 * x
tensor([True, True, True, True])
现在让我们计算x
的另一个函数
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad
tensor([1., 1., 1., 1.])
深度学习中 ,我们的目的不是计算微分矩阵,而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和
x.grad.zero_()
y = x * x
y.sum().backward()
x.grad
tensor([0., 2., 4., 6.])
将某些计算移动到记录的计算图之外
x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach()
z = u * x
z.sum().backward()
x.grad == u
tensor([True, True, True, True])
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x
tensor([True, True, True, True])
即使构建函数的计算图需要通过Python控制流(例如,条件、循环或任意函数调用),我们仍然可以计算得到的变量的梯度
def f(a):
b = a * 2
while b.norm() < 1000:
b = b * 2
if b.sum() > 0:
c = b
else:
c = 100 * b
return c
a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
a.grad == d / a
tensor(True)